Deine Schulden interessieren nach dem Zusammenzug nicht. Es scheint, du wünschst, dass ihr zusammen ziehen könnt, aber das Amt trotzdem weiter ihren Mietanteil bezahlt. Das wird aber nicht passieren, da ihr nunmal aufgrund des gemeinsamen Kindes eine Bedarfsgemeinschaft bildet, so dass dein Einkommen dann für euch alle berücksichtigt wird. Mit Freibeträgen, aber ohne Berücksichtigung von Schulden.
Wieso nicht beide im Mietvertrag stehen können, verstehe ich nicht, es sei denn, dein Zuzug in die gemeinsame neue Wohnung soll verschwiegen werden.