Schulgeld würdest du im Bürgergeld auch dann nicht bekommen wenn deine Tochter nur bei dir wohnen würde.
Es gibt kostenfreie staatliche Schulen wo kein Schulgeld zu zahlen ist. Wenn ihr als Eltern das so entscheidet, dann muss im Rahmen der Existenzsicherung dafür nicht gezahlt werden. Zahlt die Kindesmutter auch dafür? Wenn nein warum nicht?
Zusätzlicher Wohnraum weil sie 2 Tage die Woche bei dir ist? Das sieht bei der wenigen Anwesenheit eher schlecht aus, aber du kannst es probieren und einen Antrag stellen wenn du eh anteiligen Regelbedarf im Rahmen der temporären BG beantragt.