Ohne den Bescheid genau zu kennen, vermute ich, dass hier ein grundsätzliches Verständnisproblem vorliegt.
„Da der Hilfeanspruch nicht den zu zahlender halbierter Beitrag der Krankenkasse abdeckt, ist der Restbetrag von Ihnen selbst an die Generali zu überweisen.“
Diese Aussage klingt für mich zunächst so als würde in der Leistungsberechnung der halbierte Basistarif berücksichtigt werden. Aufgrund des vorhandenen Einkommens ist der Gesamtzahlungsanspruch jedoch geringer als der Beitrag, sodass nur ein "Anteil" ausgezahlt wird. Vielleicht wird es mit einem Beispiel nachvollziehbarer. Folgende (stark) vereinfachte Berechnung:
Regelbedarf 563,00 €
Halbierter Basistarif private KV+PV: 613,22 €
Kosten der Unterkunft: 500,00 €
Gesamtbedarf: 1.676,22 €
Einkommen aus Rente: 1.076,22 €
Gesamtbedarf 1.676,22 € - Einkommen 1.076,22 € = 600,00 € Zahlungsanspruch
Von den 600,00 € kann nicht der gesamte Beitrag an die private Krankenversicherung gezahlt werden. Es verbleiben 13,22 €, die aus der Rente zu zahlen sind. Trotz dieses Umstandes wird der halbierte Beitrag im Basistarif in der Berechnung vollständig berücksichtigt. Sofern im Übrigen nichts an andere Zahlungsempfänger gezahlt wird, würde ich hiervon grundsätzlich ausgehen.
Entscheidend wäre also, ob im Bescheid der Beitrag wiederzufinden ist oder bereits in der Berechnung nur ein Anteil übernommen wird. Wenn der korrekte Betrag aufgeführt wird (und alle übrigen Beträge stimmen), ist die Berechnung in Ordnung. Das sollte zunächst in Erfahrung gebracht werden.